Мы докажем, что синус-функция sin(-x)=-sin x является геометрически нечетной, используя единичную окружность.

Мы находимся в следующей конфигурации:

  • Единичная окружность $\mathcal{C}(O,R=1)$
  • Определение угла $x$
  • Определение угла $-x$

Рассмотрим соответствующие треугольники: $(OA_xA)$ и $(OA’_xA’)$.

Доказательство того, что синус-функция является нечетной sin(-x) = -sin (x)

Примем соответствующие определения синусов углов $x$ и $-x$.

В треугольнике $(OA_xA)$:

\[\sin x=\frac{\textrm{противоположный катет}}{\textrm{гипотенуза}}=\frac{|OA_y|}{R}=\frac{|OA_y|}{1}=|OA_y|\]

В треугольнике $(OA’_xA’)$:

\[\sin (-x)=\frac{\textrm{противоположный катет}}{\textrm{гипотенуза}}=\frac{|OA'_y|}{R}=\frac{|OA'_y|}{1}=|OA'_y|\]

Так как по конструкции мы имеем $\vert OA_y\vert= -\vert OA’_y\vert$, мы получаем:

\[\forall x\in \mathbb{R},\quad: \sin (-x)=-\sin x\]

Это показывает, что синус-функция является нечетной, так как она удовлетворяет свойству

\[\sin(-x) = -\sin(x)\]