Formules de Newton-Cotes

Soit $f :[a,b] \rightarrow \mathbf{R}$ une fonction continue. L’objectif est de calculer l’intégrale suivante :

$$I(f)=\int_a^bf(x)dx$$

On partitionne l’intervalle $[a,b]$ en $n$ intervalles $[x_i,x_{i+1}],i=0,\ldots,n-1$ avec

$$a = x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n} =b.$$
On a alors :

$$I(f)=\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx$$

On doit donc déterminer l’intégrale suivante :

$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx,i=0,\ldots,n-1.$$

En se ramenant sur l’intervalle $[-1,1]$ via le changement de variable

$$t=2\frac{x-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}-1$$
ou encore

$$x=\frac{x_{i+1}-x_{i}}{2}(t+1)+x_i$$
d’oà¹

$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx=\frac{x_{i+1}-x_{i}}{2} \int_{-1}^{1}g_i(t)dt$$
avec

$$g_i(t)=f\left(\frac{x_{i+1}-x_{i}}{2}(t+1)+x_i\right),i=0,\ldots,n-1.$$

Formule de quadrature

Soit $g$ une fonction continue sur $[-1,1]$. On appelle formule de quadrature l’application $J$ définie par :

$$J:g \longmapsto \sum_{j=0}^p\omega_j g(t_j)$$
les points

$$-1\leq t_0 < t_1 < \ldots < t_p \leq 1$$ sont appelés points d’intégration de la formule de quadrature $J$ et

$$\omega_0,\omega_1,\ldots,\omega_p$$ sont les poids de la formule de quadrature $J$.

Les poids et les points d’intégration sont choisis de telle manière que :

$$\int_{-1}^{1}g(t)dt\simeq\sum_{j=0}^p\omega_j g(t_j)$$

Formule de quadrature exacte

Soit $Q\in\mathbf{P}_q$, l’ensemble des polynomes de degré inférieur ou égal à $q$. La formule de quadrature $J$ est dite exacte sur $\mathbf{P}_q$, si

$$\forall Q\in\mathbf{P}_q,\quad \int_{-1}^{1}Q(t)dt=J(Q)$$
c’’est à dire

$$\forall Q\in\mathbf{P}_q,\quad \int_{-1}^{1}Q(t)dt=\sum_{j=0}^p\omega_j Q(t_j)$$

Formule de quadrature exacte : base de Lagrange

Théorème.

Soit $L_0,L_1,\ldots,L_p$ la base de Lagrange de $\mathbf{P}_{p}$
relativement aux points

$$-1 \leq t_0 < t_1 < \ldots < t_p \leq 1.$$
On a l’équivalence suivante :

$$ J(g)=\sum_{j=0}^p\omega_j g(t_j)\mbox{ exacte sur } \mathbf{P}_{p} \Longleftrightarrow \omega_j=\int_{-1}^{1}L_j(t)dt,\quad j=0,1,\ldots,p. $$

Formule de Newton-Cotes

On appelle méthode de Newton-Cotes les méthodes précédentes pour lesquelles on choisit des points $(x_i)_{i=0,\ldots,n}$ équidistants :

$$x_i=x_0+hi$$
avec $h=\frac{b-a}{n}$. Dès lors :

$$ \begin{array}{ccl} \displaystyle\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx &=& \displaystyle\frac{x_{i+1}-x_{i}}{2} \int_{-1}^{1}g_i(t)dt\\ &\simeq& \displaystyle\frac{h}{2}J(g_i)\\ &\simeq& \displaystyle\frac{h}{2}\sum_{j=0}^p\omega_j g_i(t_j)\\ &\simeq& \displaystyle\frac{h}{2}\sum_{j=0}^p\omega_j f\left(\frac{h}{2}(t_j+1)+x_i\right) \end{array} $$
On peut à présent approcher $I(f)=\int_a^bf(x)dx$ par la formule composite $I_h(f)$ :

$$ \begin{array}{ccl} \displaystyle I(f)=\int_a^bf(x)dx&=&\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx\\ &\simeq&\displaystyle\frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^p\omega_j f\left(\frac{h}{2}(t_j+1)+x_i\right) \end{array} $$
avec

$$ I_h(f)=\frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^p\omega_j f\left(\frac{h}{2}(t_j+1)+x_i\right) $$

Voici quelques formules de Newton classiques ainsi que le degré $p$ de
$\mathbf{P}_{p}$.

Méthode des rectangles

La méthode des rectangles est une méthode à 1 point. On a $p=0$ et
$t_0=0$. La base de Lagrange associée à $\mathbf{P}_{0}$ est

$$ L_0(t)=1 $$
Par suite :

$$\omega_0=\int_{-1}^{1}L_0(t)dt=\int_{-1}^{1}dt=2$$
La formule de quadrature est alors définie par :

$$J(g)=\omega_0g(t_0)=2g(0)$$

On a alors la formule composite des rectangles :

$$I_h(f)=h \sum_{i=0}^{n-1}f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)$$

Méthode des trapèzes

La méthode des trapèzes est une méthode à 2 point. On a $p=1$ et
$t_0=-1,t_1=1$. La base de Lagrange associée à $\mathbf{P}_{1}$ est

$$ L_0(t)=\frac{1-t}{2},L_1(t)=\frac{t+1}{2} $$
Par suite :

$$\omega_0=\int_{-1}^{1}L_0(t)dt=1 ;\omega_1=\int_{-1}^{1}L_1(t)dt=1$$
La formule de quadrature est alors définie par :

$$J(g)=\omega_0g(t_0)+\omega_1g(t_1)=g(-1)+g(1)$$

On a alors la formule composite des trapèzes :

$$I_h(f)=\frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1}(f(x_i)+f(x_{i+1}))$$

Méthode de Simpson

La méthode de Simpson est une méthode à 3 point. On a $p=2$ et
$t_0=-1,t_1=0,t_2=1$. La base de Lagrange associée à $\mathbf{P}_{2}$ est

$$ L_0(t)=\frac{t^2-t}{2},L_1(t)=1-t^2,L_2(t)=\frac{t^2+t}{2} $$
Par suite :

$$\omega_0=\int_{-1}^{1}L_0(t)dt=\frac{1}{3} ; \omega_1=\int_{-1}^{1}L_1(t)dt=\frac{4}{3} ; \omega_2=\int_{-1}^{1}L_1(t)dt=\frac{1}{3} ; $$
La formule de quadrature est alors définie par :

$$J(g)=\omega_0g(t_0)+\omega_1g(t_1)+\omega_2g(t_2) =\frac{1}{3}g(-1)+\frac{4}{3}g(0)+\frac{1}{3}g(1)$$

On a alors la formule composite des trapèzes :

$$I_h(f)=\frac{h}{6}\sum_{i=0}^{n-1}(f(x_i)+4 f(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}) +f(x_{i+1}))$$