Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique sin(a-b)=sin a cos b - sin b cos a

Considérons la démonstration de sin(a+b)=sin a cos b +sin b cos a comme acquise.

On a alors:

\[\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad \sin(x+y)=\sin x \cos y+\sin y \cos x\]

En particulier, en opérant le changement de variable $x=a$, et $y=-b$

\[\sin(x+y)=\sin (a-b)=\sin a \cos (-b)+\sin (-b) \cos a\]

Or la fonction cosinus est paire:

\[\cos (-b)=\cos b\]

et la fonction sinus est impaire:

\[\sin (-b)=-\sin b\]

d’où:

\[\sin (a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a\]

On conclut:

\[\forall a,b \in \mathbb{R},\sin(a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a\]