Demostraremos la siguiente igualdad:

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad\cos^2 x+ \operatorname{sen}^2 x =1\]

Demostración usando la derivada

Sea $f$ la función definida de la siguiente manera:

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=\cos^2 x+ \operatorname{sen}^2 x\] \[\begin{aligned} f'(x)&=(\cos^2 x+ \operatorname{sen}^2 x)' \\ &= 2 \cos x (-\operatorname{sen} x) + 2 \operatorname{sen} x \cos x\\ &= - 2 \cos x \operatorname{sen} x + 2 \operatorname{sen} x \cos x\\ & =0 \end{aligned}\]

Esto significa que $f$ es constante in $\mathbb{R}$:

\[\exists C \in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=C\]

Tomemos $x=0$:

\[f(x=0)=\cos^2 0+ \operatorname{sen}^2 0=1\]

Concluimos:

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=\cos^2 x+ \operatorname{sen}^2 x =1\]

Demostración usando fórmulas de adición

Anteriormente demostramos la fórmula de adición

\[\cos(a+b)=\cos a \cos b - \operatorname{sen} a \operatorname{sen} b\]

Tomemos $a=x\in \mathbb{R}$. Tomemos $b=-a=-x$, tenemos, ya que el coseno es una función par y el seno es una función impar:

\[\begin{aligned} \cos(x-x)&=\cos x \cos (-x) - \operatorname{sen} x \operatorname{sen} (-x)\\ &= \cos x \cos x - \operatorname{sen} x (-\operatorname{sen} x)\\ &= \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x\\ &=\cos 0\\ &=1 \end{aligned}\]

Concluimos entonces:

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=\cos^2 x+ \operatorname{sen}^2 x=1\]

Demostración usando el círculo trigonométrico

Considera el círculo trigonométrico de radio $r=1$. En el siguiente triángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras: $x= \cos \theta$, $y= \operatorname{sen} \theta$. La hipotenusa es $r= 1$, entonces tenemos:

\[\begin{aligned} x^2+y^2=r^2&=1 \\ \cos^2 \theta+ \operatorname{sen}^2 \theta&=1 \end{aligned}\]

Entonces tenemos:

\[\forall \theta\in [0, 2\pi ], \quad \cos^2 \theta+ \operatorname{sen}^2 \theta =1\]

Concluimos que:

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad\cos^2 x+ \operatorname{sen}^2 x =1\]

La conversión de radianes $\theta$ a grados $x$ se realiza de la siguiente manera:

\[x=\theta \times \frac{180}{\pi}\]

Ejemplo: $\theta=\pi/4$

\[x= \frac{\pi}{4} \times \frac{180 }{\pi}= \frac{180 }{4}=45^\circ\]