La derivada de la función inversa f ^-1 está dada por: (f ^-1) ‘(x) = 1 / f’ (f ^-1 (x))

Para probar este resultado, vamos a aplicar la regla de la cadena (derivada de una función compuesta) a la función f y a su inversa f ^ -1.

Recordatorio matemático

Anteriormente demostramos el resultado de la regla de la cadena.

Sean $I$ y $J$ dos intervalos de $\mathbb{R}$ y dos funciones $u, v$ definidas por:

\[\begin{aligned} u&: I \rightarrow \mathbb{R}\\ v&: J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned}\]

tal $f(I) \subset J$. Sea $x$ un punto del intervalo $I$.

Si $u$ es una función que es diferenciable en un punto $x$ and $v$ es diferenciable en un punto $u(x)$ entonces la función compuesta $u \circ v$ es diferenciable en $x$, y la regla de la cadena viene dada:

\[\forall x\in I, \quad \left(u \circ v\right)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x)\]

Prueba/Demostración

Aplicando la regla de la cadena, con $u=f,v=f^{-1}$, tenemos:

\[\left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\]

Sin embargo, por definición de función recíproca:

\[\left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=Id(x)=x\]

donde $Id$ es la función identidad.

Luego:

\[\left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\left(Id\right)^{\prime}(x)=1\]

Por lo tanto:

\[\begin{aligned} \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)&=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\\ &=1 \end{aligned}\]

Concluímos que:

\[(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}\]