Derivada de la función inversa

Recordatorio matemático

Anteriormente demostramos el resultado de la regla de la cadena.

Sean $I$ y $J$ dos intervalos de $\mathbb{R}$ y dos funciones $u, v$ definidas por:

$$ \begin{aligned} u&: I \rightarrow \mathbb{R}\\ v&: J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned} $$

tal $f(I) \subset J$. Sea $x$ un punto del intervalo $I$.

Si $u$ es una función que es diferenciable en un punto $x$ and $v$ es diferenciable en un punto $u(x)$ entonces la función compuesta $u \circ v$ es diferenciable en $x$, y la regla de la cadena viene dada:

$$ \forall x\in I, \quad \left(u \circ v\right)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x) $$

Prueba/Demostración

Aplicando la regla de la cadena, con $u=f,v=f^{-1}$, tenemos:

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x) $$

Sin embargo, por definición de función recíproca:

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=Id(x)=x $$

donde $Id$ es la función identidad.

Luego:

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\left(Id\right)^{\prime}(x)=1 $$

Por lo tanto:

$$ \begin{aligned} \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)&=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\\ &=1 \end{aligned} $$

Concluímos que:

$$ (f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))} $$