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Dérivée de fonction réciproque

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La dérivée f^-1 d’une fonction réciproque de f est donnée par : (f^-1)’(x)=1 / f’ (f^-1(x))
Pour démontrer ce résultat, nous allons appliquer la formule de la dérivée des foncions composées à la fonction f et à sa bijection f^-1.

Rappel

Nous avions précédemment démontrer le résultat relatif à la dérivée de fonctions composées.

Considérons $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$. Soient deux fonctions $u,v$ définies par

$$ \begin{aligned} u& : I \rightarrow \mathbb{R}\\ v& : J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned} $$

deux fonctions telles que $u(I) \subset J$. Soit $x$ un point de l’intervalle $I$.
Si $u$ est dérivable au point $x$ et $u$ est dérivable au point $v(x)$ alors la composée $u \circ v$ est dérivable au point $x$ et

$$ \forall x\in I, \quad \left(u \circ v\right)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x) $$

Preuve/Démonstration

En appliquant la formule de dérivée de fonctions composées avec $u=f,v=f^{-1}$, on a alors :

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x) $$

Or, par définition d’une fonction réciproque :

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=Id(x)=x $$

où $Id$ est la fonction identité.

On a alors :

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\left(Id\right)^{\prime}(x)=1 $$

D’où

$$ \begin{aligned} \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)&=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\\ &=1 \end{aligned} $$

On conclut alors :

$$ (f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))} $$

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