Dérivée de arccos x

Dérivée de arccos x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\arccos{x}$ est :

$$ \forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f’(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction $\arccos$ est la fonction réciproque de $\cos$ autrement dit :

$$ \left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\cos \circ \arccos\right)(x)=\cos(\arccos(x))=x $$

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a :

$$ (g^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))} $$

En posant : $g^{-1}=f=\arccos$ et donc $g=f^{-1}=\cos$, on a :

$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos^{\prime}(f(x))} $$

Or :

La dérivée de la fonction cosinus, $g(x)=\cos x$ est :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad g’(x) = - \sin x $$

On a alors :

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{1}{\cos^{\prime}(f(x))}\\ &=-\frac{1}{\sin (f(x))}\\ &=-\frac{1}{\sin (\arccos x)}\\ \end{aligned} $$

On a par ailleurs :

$$\forall X \in \mathbb{R}, \quad \cos^2 X + \sin^2 X =1$$

et

par définition :

$$ \left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\cos \circ \arccos\right)(x)={\color{red}{\cos(\arccos(x))=x}} $$

En posant $X=\arccos x$, cela donne :

$$ \begin{aligned} 1&=\cos^2 X + \sin^2 X\\ &={\color{red}{\cos^2 (\arccos x)}} + \sin^2 (\arccos x) \\ &={\color{red}{x^2}} + \sin^2 (\arccos x) \\ \end{aligned} $$

On obtient alors :

$$ \sin^2 (\arccos x) = 1 - x^2 \Longrightarrow \sin (\arccos x) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

La fonction $\arccos x$ est définie pour tout $x \in [-1,1]$ et on a en l’occurrence :

$$ \forall x \in [-1,1], \quad \arccos x \in [0, \pi] $$

puisque fonction réciproque de $\cos :[0, \pi] \to [-1,1]$.

Dès lors si l’angle $\arccos x \in \displaystyle [0, \pi]$, alors le sinus de cet angle $\sin (\arccos x)$ est positif ou nul. La seule solution possible est alors :

$$ \sin (\arccos x) = + \sqrt{1 - x^2} $$

On conclut que :

$$ \forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f’(x) = - \frac{1}{\sin (\arccos x)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$