Dérivée de arctan x

La dérivée f’ de la fonction f(x)=arctan x est: f’(x) = 1 / (1 + x²) pour tout x réel. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .

Dérivée de arctan x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\arctan{x}$ est:

\[\forall x \in \mathbb{R} ,\quad f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\]

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction $\arctan$ est la fonction réciproque de $\tan$ autrement dit:

\[\left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\tan \circ \arctan\right)(x)=\tan(\arctan(x))=x\]

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a:

\[(g^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))}\]

En posant: $g^{-1}=f=\arctan$ et donc $g=f^{-1}=\tan$, on a:

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{\tan^{\prime}(f(x))}\]

Or:

La dérivée de la fonction tangeante $g(x)=\tan x$ est:

\[\forall x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}, \quad g'(x) = 1+\tan ^{2} x\]

On a alors:

\[\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{1}{\tan^{\prime}(f(x))}\\ &=\frac{1}{1+\tan^2(f(x))}\\ &=\frac{1}{1+\tan^2(\arctan x)}\\ \end{aligned}\]

Or, par définition:

\[\left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\tan \circ \arctan\right)(x)=\tan(\arctan(x))=x\]

On conclut que:

\[\forall x \in \mathbb{R} ,\quad f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\]