Limite de (1+x)^(1/x)=e quand x tend vers 0

Nous allons démontrer l’égalité suivante :

$$\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$

Tout d’abord, posons :$u(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}$.

On a :

$$ \begin{aligned} \ln u(x)&=\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}\\ &=\frac{1}{x} \ln (1+x)=\frac{\ln (1+x)}{x}\\ \end{aligned} $$

Deux possibilités pour étudier cette limite.

Première possibilité : Règle de l’Hôpital
Soit deux fonctions $f$ et $g$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ à l’exception d’un point $c$ contenu dans $I$, si $\displaystyle\lim_{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} g(x)=0$ ou $\pm \infty, g^{\prime}(x) \neq 0$ pour tout $x$ dans $I$ avec $x \neq c,$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ existe, alors

$$ \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} $$

Ici $c=0$,$f(x)=\ln (1+x)$, $g(x)=x$. Cela donne :

$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{1+x}}{1}=1 $$

Seconde possibilité : en utilisant la définition du taux d’accroissement/nombre dérivé.

$$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ln(1+x)-ln(1+0)}{x-0} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)=1 \end{aligned} $$
avec $f(x)=\ln (1+x)$ and $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}$

On a :

$$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0}(\ln u(x))&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1\\ \exp(\lim _{x \rightarrow 0}(\ln u(x))&=\exp (1)\\ \lim _{x \rightarrow 0}(\exp(\ln u(x))&=e \\ \lim _{x \rightarrow 0}(u(x))&=e \\ \end{aligned} $$

On conclut alors :

$$ \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e $$