Développement limité de 1/(1+x)^(1/2) en 0 - Démonstration

Développement limité de 1/√(1+x) en 0

$$ \begin{aligned} (1+x)^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8} x^{2}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2}x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

On a :

$$ \begin{aligned} f’(x)&=-\frac{1}{2}(1+x)’(1+x)^{-\frac{1}{2}-1}=-\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}-1} \\ f’’(x)&=-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)(1+x)’(1+x)^{-\frac{1}{2}-1-1}=-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)(1+x)^{-\frac{1}{2}-2} \end{aligned} $$

Par récurrence, La dérivée $k$-ième de $f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}$ s’écrit :

$$f^{(k)}(x)=-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1) \cdots(-\frac{1}{2}-k+1)(1+x)^{-\frac{1}{2}-k}$$

En $x=0$,

$$ \begin{aligned} f^{(k)}(0)&=-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1) (-\frac{1}{2}-2) \cdots(-\frac{1}{2}-k+1) \\ &=-\frac{1}{2}(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2}) \cdots(-\frac{2k-1}{2})\\ &=(-1)^{k}\frac{1}{2}(\frac{3}{2})(\frac{5}{2}) \cdots(\frac{2k-1}{2})\\ &=(-1)^{k}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots(2 k-1)}{2^{k}}\\ &=(-1)^{k}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots(2 k-1)}{2^{k}}\cdot \frac{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot2 k}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot2 k}\\ &=(-1)^{k}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \ldots(2 k-1)\cdot 2k}{2^{k}}\cdot \frac{ 1}{2 \times 1 \cdot 2 \times 2 \cdot2 \times 3 \cdot \ldots \cdot2 \times k}\\ &=(-1)^{k}\frac{(2 k) !}{2^k}\cdot \frac{ 1}{2^{k} k !}\\ &=(-1)^{k}\frac{(2 k) !}{2^{2k} k !}\\ \end{aligned} $$

$f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur un intervalle contenant $0$, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre $n$ en 0 qui s’écrit :

$$ \begin{aligned} f(x)&=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+\mathrm{o}\left(x^{n}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\frac{(2 k) !}{2^{2k} (k !)^2} x^{k}+\mathrm{o}\left(x^{n}\right)\\ \end{aligned} $$

Conclusion :

$$ \begin{aligned} (1+x)^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8} x^{2}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2}x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$