Développement limité de arccos x en 0 - Démonstration

Développement limité la fonction arccosinus arccos x x en 0

$$ \begin{aligned} \arccos x &=\frac{\pi}{2} -x -\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{8} \frac{x^{5}}{5}-\cdots- \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

Il existe un unique réel $\theta$ dans $[0, \pi]$ tel que :

$$ x=\cos \theta \Longleftrightarrow \theta=\arccos x $$

Puisque, $\displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta$ est dans $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, on a :

$$ \arcsin x= \arcsin (\cos \theta) = \arcsin \left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)=\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{\pi}{2}-\arccos x $$

On a alors :

$$ \forall x\in [-1,1], \quad\arccos x+\arcsin x= \frac{\pi}{2} $$

Le développement limité de $\arcsin x$ d’ordre $2n+1$ en 0 s’écrit :

$$ \begin{aligned} \arcsin x &=x+\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{8} \frac{x^{5}}{5}+\cdots+ \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \end{aligned} $$

On en déduit alors le développement limité de $\arccos x$ d’ordre $2n+1$ :

$$ \begin{aligned} \arccos x &=\frac{\pi}{2} -x -\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{8} \frac{x^{5}}{5}-\cdots- \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \end{aligned} $$