Développement limité de arctan x en 0 - Démonstration

Développement limité de arctan x en 0

$$ \begin{aligned} \arctan x &=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

La fonction $\displaystyle\frac{1}{1+x}$ admet alors un développement limité en 0 à l’ordre $n$ :

$$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}+\cdots+ (-1)^n x^{n}+o\left(x^{n}\right) $$

De même par un changement de variable :

$$ \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^{4}+\cdots+ (-1)^n x^{2n}+o\left(x^{2n}\right) $$

Intégration des développements limités
Soit $f$ $\in C(I, \mathbb{R})$ ayant un développement limité d’ordre $n$ en 0 $D L_{n}(0)$ de la forme $(n>0)$

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{k !} x^{k}+o\left(x^{n}\right) $$
Toute primitive F de $f$ sur I admet un un développement limité d’ordre $n+1$ en 0 $D L_{n+1}(0)$ de la forme

$$ F(x)=F(0)+\sum_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{(k+1) !} x^{k+1}+o\left(x^{n+1}\right) $$

En procédant à l’intégration du développement limité de $\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$ en 0 :

$$ \begin{aligned} \arctan x &= \int_0^x\frac{1}{1+x^2} dx \\ &=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ \end{aligned} $$