Math-Linux.com

Knowledge base dedicated to Linux and applied mathematics.

Accueil > Mathématiques > Développements limités > Développement limité de exp x en 0 - Démonstration

Développement limité de exp x en 0 - Démonstration

Ci-dessous la démonstration du développement limité de la fonction exponentielle exp x autour de 0

Développement limité de exp x en 0

$$ \begin{aligned} e^{x} &=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right) \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

Soit $f(x)=e^{x}$. $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur un intervalle contenant $0$, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre $n$ en 0 qui s’écrit :

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+\mathrm{o}\left(x^{n}\right) $$

La dérivée $k$-ième de $f$ est exactement $f$ :

$$f^{(k)}(x)=e^{x}$$
d’où

$$f^{(k)}(0)=e^{0}=1$$

On a alors :

$$ \begin{aligned} f(x) &=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !} +\mathrm{o}\left(x^{n}\right)\\ &=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right) \end{aligned} $$

Dans la même rubrique

  1. Développement limité de exp x en 0 - Démonstration
  2. Développement limité de (1+x)^alpha en 0 - Démonstration
  3. Développement limité de 1/(1+x) en 0 - Démonstration
  4. Développement limité de 1/(1+x)^(1/2) en 0 - Démonstration
  5. Développement limité de 1/(1-x) en 0 - Démonstration
  6. Développement limité de arccos x en 0 - Démonstration
  7. Développement limité de arcsinus arcsin x en 0 - Démonstration
  8. Développement limité de arctan x en 0 - Démonstration
  9. Développement limité de argument sinus hyperbolique argsh x en 0 - Démonstration
  10. Développement limité de cos x en 0 - Démonstration
  11. Développement limité de ln(1+x) en 0 - Démonstration
  12. Développement limité de sin x en 0 - Démonstration
  13. Développement limité de tan x en 0 - Démonstration
  14. Développement limité de tangente hyperbolique tanh x, th x en 0 - Démonstration
  15. Développement limité du cosinus hyperbolique ch x , cosh x en 0 - Démonstration
  16. Développement limité du sinus hyperbolique sh x , sinh x en 0 - Démonstration
  17. Développements limités au voisinage de 0