Développement limité du cosinus hyperbolique ch x , cosh x en 0 - Démonstration

Développement limité de ch x en 0

$$ \begin{aligned} \operatorname{ch} x&=\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\ &=1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots+\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration - Méthode 1

Soit $f(x)=\cosh x$. $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur un intervalle contenant $0$, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre $n$ en 0 qui s’écrit :

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+\mathrm{o}\left(x^{n}\right) $$

Le sinus hyperbolique $\operatorname{sh} x=\sinh x$ est défini comme suit :

$$ \operatorname{sh} x=\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} $$

On voit alors que :

$$ (\cosh x)’=\sinh x, \quad (\cosh x)’’= (\sinh x)’=\cosh x $$

De manière récurrente :

$$ \begin{aligned} (\cosh x)^{(2p)} &=\cosh \\ (\cosh x)^{(2p+1)} &=\sinh x \end{aligned} $$

De plus :

$$ \sinh 0=\frac{e^{0}-e^{-0}}{2}=0, \quad \cosh 0=\frac{e^{0}+e^{-0}}{2}=1 $$

La dérivée $k$-ième de $f(x)=\cosh x$ en $x=0$, suivant que k soit paire ou impaire :

$$ \begin{aligned} f^{(2p)}(0) & =1\\ f^{(2p+1)}(0) & =0\\ \end{aligned} $$

Il ne reste alors que les termes de dérivées d’ordre paire :

$$ \begin{aligned} \operatorname{ch} x &=\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\ &=1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots+\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ \end{aligned} $$

Preuve - Démonstration - Méthode 2

Par définition :

$$ \operatorname{ch} x=\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$

En prenant le développement limité de $e^{x}$ et $e^{-x}$ en 0 à l’ordre $2n+1$

$$ \begin{aligned} e^{x} &=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}\cdots+\frac{x^{2n}}{2n !} +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}+o\left(x^{2n+1}\right)\\ e^{-x} &=1-\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}-\frac{x^{3}}{3 !}\cdots+\frac{x^{2n}}{2n !}-\frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}+o\left(x^{2n+1}\right)\\ \operatorname{ch} x=\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} &=1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots+\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \end{aligned} $$