Développement limité de 1/(1+x) en 0 - Démonstration

Développement limité de 1/(1+x) en 0

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+x} &=1-x+x^{2}+\cdots+ (-1)^n x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

On a : $1+(-1)^{n}x^{n+1}=(1+x)\left(1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n}\right),$ on a

$$ \frac{1+(-1)^{n}x^{n+1}}{1+x}=\frac{(1+x)\left(1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n}\right)}{1+x}=1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n} $$
d’où au voisinage de 0 :

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+x}&=1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n}-\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{1+x}\\ &=1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}\\ &=1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+(-1)^{n+1}x^n\frac{x}{1+x}\\ &=1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+o\left(x^{n}\right)\\ \end{aligned} $$
Puisque :

$$ \lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1+x}=0 $$

La fonction $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x}$ admet alors un développement limité en 0 à l’ordre $n$. Par le théorème d’unicité du développement limité, on a bien le résultat :

$$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}+\cdots+ (-1)^n x^{n}+o\left(x^{n}\right) $$