Développement limité de (1+x)^alpha en 0 - Démonstration

Développement limité de (1+x)^$\alpha$ en 0

$$ \begin{aligned} (1+x)^{\alpha} &=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

La dérivée $k$-ième de $f(x)=(1+x)^{\alpha}$ s’écrit :

$$f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}$$

En $x=0$,

$$f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)$$

$f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur un intervalle contenant $0$, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre $n$ en 0 qui s’écrit :

$$ \begin{aligned} f(x)&=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+\mathrm{o}\left(x^{n}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{n} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)}{k !} x^{k}+\mathrm{o}\left(x^{n}\right)\\ \end{aligned} $$

Conclusion :

$$ \begin{aligned} (1+x)^{\alpha} &=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$

Cas particulier $\alpha=1/2$

$$ \begin{aligned} (1+x)^{\frac{1}{2}} = &\sqrt{1+x} =1+\frac{x}{2}-\frac{1}{8} x^{2}+\cdots+(-1)^{n-1} \cdot \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2} x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$

La simplification factorielle est obtenue comme suit :

$$ \begin{aligned} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots(2 n-1)}{2^{n} n !}&=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots(2 n-1)}{2^{n} n !}\cdot \frac{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot2 n}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot2 n}\\ &=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \ldots(2 n-1)\cdot 2n}{2^{n} n !}\cdot \frac{ 1}{2 \times 1 \cdot 2 \times 2 \cdot2 \times 3 \cdot \ldots \cdot2 \times n}\\ &=\frac{(2 n) !}{2^{n} n !}\cdot \frac{ 1}{2^{n} n !}\\ &=\frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2}\\ \end{aligned} $$

Cas particulier $\alpha=-1/2$

$$ \begin{aligned} (1+x)^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8} x^{2}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2}x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$

En utilisant la même simplification factorielle que précédemment.