Développement limité de argument sinus hyperbolique argsh x en 0 - Démonstration

Développement limité de argsh x en 0

$$ \begin{aligned} \operatorname{argsh} x &=x-\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{8} \frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{1.3 \cdot 5 \cdot \ldots(2 n-1)}{2^{n} n !} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

Par définition, $\operatorname{argsh} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est la bijection réciproque de l’application $\operatorname{sh} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

En effet, $\operatorname{sh} x$ vérifie les propriétés suivantes :
– dérivable et continue sur $\mathbb{R}$
– strictement croissante
– $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \operatorname{sh} x=-\infty$
– $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{sh} x=+\infty$

On a :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \operatorname{sh}(\operatorname{argsh}(x))= x$$

Une propriété remarquable du sinus hyperbolique est que :

$$\operatorname{ch}^{2} x-\operatorname{sh}^{2} x=1$$

Pour déterminer le développement limité de $\operatorname{argsh}$, nous allons démontrer que

$$ \operatorname{argsh}^{\prime} x=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} $$

et utiliser les propriétés d’intégration du développement limité

$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{8} x^{4}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{1.3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2^{n} n !} x^{2n}+o\left(x^{2n}\right) $$

Ce dernier développement est obtenu par composition de la fonction $u=x^2$ et du développement limité

$$ \begin{aligned} (1+u)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{1+u}}&=1-\frac{u}{2}+\frac{3}{8} u^{2}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{1.3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2^{n} n !} u^{n}+o\left(u^{n}\right) \\ &=1-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{8} x^{4}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{1.3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2^{n} n !} x^{2n}+o\left(x^{2n}\right)\\ \end{aligned} $$

$\forall x \in \mathbb{R}$, en dérivant $\operatorname{sh}(\operatorname{argsh}(x))= x$, on a :

$$\operatorname{argsh}^{\prime} x \cdot\operatorname{ch}(\operatorname{argsh} x) =1$$

et en utilisant la propriété remarquable du sinus hyperbolique :

$$ \begin{aligned} \operatorname{argsh}^{\prime} x&=\frac{1}{\operatorname{ch}(\operatorname{argsh} x)}=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sh}^{2}(\operatorname{argsh} x)}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\\ &=1-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{8} x^{4}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{1.3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2^{n} n !} x^{2n}+o\left(x^{2n}\right)\\ \end{aligned} $$

Enfin, on conclut en utilisant les propriétés d’intégration des développements limités :

$$ \begin{aligned} \operatorname{argsh} x &=x-\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{8} \frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{1.3 \cdot 5 \cdot \ldots(2 n-1)}{2^{n} n !} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \end{aligned} $$