Développement limité de tan x en 0 - Démonstration

Développement limité de la fonction tangente tan x en 0

$$ \begin{aligned} \tan x&=x+\frac{x^{3}}{3} +\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+o\left(x^{7}\right) \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

Les développements limités de $\cos x$ et $\sin x$ en 0 à l’ordre 7 donne

$$ \sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\frac{x^{7}}{5040}+o\left(x^{7}\right) \quad \cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}+o\left(x^{7}\right) $$
en particulier on a :

$$ \cos x-1=-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}+o\left(x^{7}\right) $$

Le développement limité de $\displaystyle\frac{1}{1+x}$ en 0 à l’ordre 7 :

$$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}+o\left(x^{7}\right) $$

En fixant $X=\cos x- 1$, et en composant les développements limités, on obtient :

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+X}=&1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+X^{6}-X^{7}+o\left(X^{7}\right)\\ \frac{1}{1+(\cos x-1)}=&1-\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}\right)+\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}\right)^{2}\\ -&\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}\right)^{3}+\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}\right)^{4}\\ -&\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}\right)^{5}+o\left(x^{7}\right)\\ =&\frac{1}{\cos x} \end{aligned} $$
En ne gardant que les éléments de degré inférieur ou égal à 7, on a :

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\cos x}=&1-\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}\right)+\left( \frac{x^4}{4}- \frac{x^6}{24} \right)-\left(-\frac{x^{6}}{8}\right)+o\left(x^{7}\right)\\ =&1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+o\left(x^{7}\right) \end{aligned} $$

Puisque :

$$ \displaystyle\tan x=\sin x \times \frac{1}{\cos x} $$
et que

$$ \begin{aligned} \sin x&=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\frac{x^{7}}{5040}+o\left(x^{7}\right)\\ \frac{1}{\cos x}&=1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+o\left(x^{7}\right) \end{aligned} $$

En utilisant la règle de multiplication des développements limités, on a alors :

$$ \tan x=\left(x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\frac{x^{7}}{5040}\right)\left(1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}\right)+o\left(x^{7}\right) $$
En développant et en ne gardant que les éléments de degré inférieur ou égal à 7, on a :

$$ \begin{aligned} \tan x=x&+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right) x^{3}+\left(\frac{5}{24}-\frac{1}{12}+\frac{1}{120}\right) x^{5}\\ &+\left(\frac{61}{720} -\frac{5}{144} +\frac{1}{240} -\frac{1}{5040} \right)x^{7}+o\left(x^{7}\right)\\ =x&+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+o\left(x^{7}\right)\\ \end{aligned} $$

Conclusion :

$$ \tan x=x+\frac{x^{3}}{3} +\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+o\left(x^{7}\right) $$